Analízis
	BME Bevezető Matematika Zárthelyi minta

» Példák

1. Tetszőleges nem negatív a $\large \dpi{80} \fn_jvn (a\neq 1)$ szám esetén $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}=$

(A) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{\sqrt{a}+a}{1+a}$

(B) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{\sqrt{a}-a}{1-a}$

(C) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{\sqrt{a}-a}{1-a^2}$

(D) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{a}{1+a}$

(E) ezek egyike sem

1. $\large \dpi{80} \fn_jvn {\color{Red} \frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}=}$

__________

Megoldás:

Egyszerű számokkal számolunk és keressük a „jó” képletet.

$\large \dpi{80} \fn_jvn {\color{Red} \frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}}={\color{Blue} \frac{\sqrt{a}-a}{1-a}}$

__________

Válasz:

2. Mennyi a $\large \dpi{80} \fn_jvn \sqrt{10^{4-\lg25}}$ kifejezés értéke?

(A) 4

(B) 5

(C) 10

(D) 20

(E) ezek egyike sem

2. Mennyi a $\large \dpi{80} \fn_jvn {\color{Red} \sqrt{10^{4-\lg25}}}$ kifejezés értéke?

__________

Megoldás:

Hatványozás azonosságait és a logaritmus definícióját használjuk. Ha a gyökkitevőt törtkitevőre írjuk át, könnyebben számolunk.

$\large \dpi{80} \fn_jvn \mathbf{a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}}$ ; $\large \dpi{80} \fn_jvn \boldsymbol{\sqrt[q]{a^p}=a^{\frac{p}{q}}}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn \mathbf{10^{lg b}=b}$ →

a logaritmus KITEVŐT jelent, és az lg tízes alapot.

(kitevő: lg 25,

alap: 10,

hatvány: 25)

$\large \dpi{80} \fn_jvn \sqrt{10^{4-\lg25}}=\sqrt{\frac{10^4}{10^{\lg25}}}=\frac{10^{\frac{4}{2}}}{\sqrt{25}}=\frac{100}{5}={\color{Blue} 20}$

__________

Válasz:

4. Az alábbi állítások közül melyik igaz? Tetszőleges pozitív a, b és c ( $\large \dpi{80} \fn_jvn a\neq 1$ )

számokra teljesül, hogy


$\large \dpi{80} \fn_jvn 1.\;a^b-a^c=a^{b-c}$	$\large \dpi{80} \fn_jvn 2.\;a^b\cdot a^b=a^{\left (b^2 \right )}$	$\large \dpi{80} \fn_jvn \log_a(b+c)=\log_a b+ \log_a c$

(A) csak az 1.

(B) csak a 2.

(C) csak a 3.

(D) egyik sem igaz

(E) több állítás is igaz

4. Az alábbi állítások közül melyik igaz? Tetszőleges pozitív a, b és c ( $\large \dpi{80} \fn_jvn a\neq 1$ )

számokra teljesül, hogy


$\large \dpi{80} \fn_jvn 1.\;a^b-a^c=a^{b-c}$	$\large \dpi{80} \fn_jvn 2.\;a^b\cdot a^b=a^{\left (b^2 \right )}$	$\large \dpi{80} \fn_jvn \log_a(b+c)=\log_a b+ \log_a c$

__________

Megoldás:

A hatványozás és a logaritmus azonosságainál az adott műveletnél alacsonyabb rendű műveletet végezzük. Például: azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevőket összeadjuk.

__________

Válasz:

7. Az alábbi függvények közül melyik páros függvény?

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x)=\cos 3x$

$\large \dpi{80} \fn_jvn g(x)=\frac{10}{x}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn h(x)=2 ^x$

(A) csak az f

(B) csak a g

(C) csak a h

(D) több is páros

(E) egyik sem páros

7. Az alábbi függvények közül melyik páros függvény?

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x)=\cos 3x$

$\large \dpi{80} \fn_jvn g(x)=\frac{10}{x}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn h(x)=2 ^x$

__________

Megoldás:

Páros függvény az y tengelyre szimmetrikus. Ha az alapfüggvény páros, a zsugorított (nyújtott) függvény is páros marad. (páros: (+x) és (-x) helyen „ugyanakkora” a függvény)

$\large \dpi{80} \fn_jvn {\color{Blue} \cos x=\cos(-x)}$ $\large \dpi{80} \fn_jvn \left (\frac{1}{x}\neq \frac{1}{-x}\;;\; 2^x\neq 2^{-x} \right )$

__________

Válasz:

8. Mekkora a satírozott rész területe, ha a P, Q, R, S pontok egy egységoldalú

négyzet oldalfelező pontjai?

(A) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{1}{6}$

(B) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{1}{5}$

(C) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{1}{4}$

(D) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{9}{50}$

(E) ezek egyike sem igaz

8. Mekkora a satírozott rész területe, ha a P, Q, R, S pontok egy egységoldalú

négyzet oldalfelező pontjai?

__________

Megoldás:

Olyan háromszögeket keresünk, amivel „lefedhetők” az adott síkidomok.

$\large \dpi{80} \fn_jvn \text{t}_\text{négyzet}=1$
	20 db háromszög $\large \dpi{80} \fn_jvn \text{t}_\text{háromszög}=\frac{1}{20}$	4 db háromszög $\large \dpi{80} \fn_jvn \text{t}_\text{háromszög}=\frac{1}{20}$

__________

Válasz:

9. Egy autó a 92 km-es út első felét 100 km/h sebességgel, a második felét 60 km/h

sebességgel tette meg. Mekkora volt az egész útra vonatkozó átlagsebessége?

(A) 75 km/h

(B) 77,5 km/h

(C) 80 km/h

(D) 85 km/h

(E) ezek egyike sem igaz

9. Egy autó a 92 km-es út első felét 100 km/h sebességgel, a második felét 60 km/h

sebességgel tette meg. Mekkora volt az egész útra vonatkozó átlagsebessége?

__________

Megoldás:

$\large \dpi{80} \fn_jvn \text{Sebesség}=\frac{\text{út}}{\text{idő}}$ és

$\large \dpi{80} \fn_jvn \text{\textbf{Átlagsebesség}}=\frac{\text{\textbf{összes út}}}{\text{\textbf{összes idő}}}$

képletekkel számolunk.

$\large \dpi{80} \fn_jvn v=\frac{s}{t}$ ; $\large \dpi{80} \fn_jvn v_\text{átlag}=\frac{s_\text{összes}}{t_\text{összes}}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn t= \frac{s}{v}$

	s	t	v
①	46	$\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{46}{100}$	100
②	46	$\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{46}{60}$	60
összesen	92	$\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{8\cdot 46}{300}$	$\large \dpi{80} \fn_jvn {\color{Blue} v_{\text{átlag}}=75\;\frac{\text{km}}{\text{h}}}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{46}{100}+\frac{46}{60}=\frac{3\cdot 46+5\cdot 46}{300}=\frac{8\cdot 46}{300}$

__________

Válasz:

11. Árvízi védekezéshez c darab $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{p}{q}$ köbméteres tartályt töltöttünk meg homokkal.

Hány darab $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{m}{n}$ köbméteres tartályba tudtunk volna ugyanennyi homokot beletölteni?

(A) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{p\cdot n}{c\cdot q\cdot m}$

(B) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{p\cdot m} {c\cdot q\cdot n}$

(C) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{c\cdot p\cdot m} {q\cdot n}$

(D) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{c\cdot p\cdot n} {q\cdot m}$

(E) $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{c\cdot q\cdot m} {p\cdot n}$

11. Árvízi védekezéshez c darab $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{p}{q}$ köbméteres tartályt töltöttünk meg homokkal.

Hány darab $\large \dpi{80} \fn_jvn \frac{m}{n}$ köbméteres tartályba tudtunk volna ugyanennyi homokot beletölteni?

__________

Megoldás:

Összmennyiség ugyanennyi, ezért erre írunk fel összefüggést:

mennyiség = darabszám · térfogat

$\large \dpi{80} \fn_jvn c\cdot \frac{p}{q}=x\cdot \frac{m}{n}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {\color{Blue} \frac{c\cdot p \cdot n}{q \cdot m}=x}$

__________

Válasz:

13. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? Az $\large \dpi{80} \fn_jvn x^2-8x+y^2+4y+4=0$ egyenletű körre

teljesül, hogy

1. középpontja a (-4; 2) pont	2. sugara 4 egység	3. érinti az y tengelyt

(A) csak az 1.

(B) csak a 2.

(C) csak a 3.

(D) egyik sem igaz

(E) több állítás is igaz

13. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? Az $\large \dpi{80} \fn_jvn x^2-8x+y^2+4y+4=0$ egyenletű körre

teljesül, hogy

1. középpontja a (-4; 2) pont

2. sugara 4 egység

3. érinti az y tengelyt

__________

Megoldás:

Az egyenletet a kör általános képletére rendezzük. Rajz alapján keressük a jó választ.

kör: $\large \dpi{80} \fn_jvn (x-u)^2+(y-v)^2=r^2$

középpont: $\large \dpi{80} \fn_jvn C(u;v)\text{ ; sugár: r}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn x^2\;\;\;-\;\;\;8x\;\;\;+\;\;\;y^2$ $\large \dpi{80} \fn_jvn +$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4y$ $\large \dpi{80} \fn_jvn +$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4$ $\large \dpi{80} \fn_jvn =$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 0$

$\large \dpi{80} \fn_jvn (x-4)^2$ $\large \dpi{80} \fn_jvn -$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4^2$ $\large \dpi{80} \fn_jvn +$ $\large \dpi{80} \fn_jvn (y+2)^2$ $\large \dpi{80} \fn_jvn -$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4$ $\large \dpi{80} \fn_jvn +$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4$ $\large \dpi{80} \fn_jvn =$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 0$

$\large \dpi{80} \fn_jvn (x^2-8x+4^2)$ $\large \dpi{80} \fn_jvn -$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4^2$ $\large \dpi{80} \fn_jvn +$ $\large \dpi{80} \fn_jvn (y^2+4y+4)$ $\large \dpi{80} \fn_jvn -$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4$ $\large \dpi{80} \fn_jvn +$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4$ $\large \dpi{80} \fn_jvn =$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 0$

$\large \dpi{80} \fn_jvn (x-4)^2$ $\large \dpi{80} \fn_jvn +$ $\large \dpi{80} \fn_jvn (y+2)^2$ $\large \dpi{80} \fn_jvn =$ $\large \dpi{80} \fn_jvn 4^2$

középpont: $\large \dpi{80} \fn_jvn C(4;-2)\text{ ; {\color{Blue} {sugár: r=4}}}$