Analízis
	BME Analízis zárthelyi

» Példák

1. Példa

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x;y)=ln(x;y)\;\;\;\;\;x_0=1;\; y_0=2$

1/1. a fv. szintvonala

1. Példa

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x;y)=ln(x;y)\;\;\;\;\;x_0=1;\; y_0=2$

1/1. a fv. szintvonala

Megoldás:

A szintvonal: az f(x; y) = c görbe (c = állandó)

$\large \dpi{80} \fn_jvn z=f(x;y)\to z=c$

$\large \dpi{80} \fn_jvn ln(x\cdot y)=c$

$\large \dpi{80} \fn_jvn e^c=x\cdot y$

pl. c = 0 esetén (z = 0)

$\large \dpi{80} \fn_jvn e^0=x\cdot y$

$\large \dpi{80} \fn_jvn 1=x\cdot y$

$\large \dpi{80} \fn_jvn y=\frac{1}{x}$

Az $\large \dpi{80} \fn_jvn f(x;y)=ln (x\cdot y)$ szintvonala: $\large \dpi{80} \fn_jvn y=\frac{e^c}{x}$ hiperbola (pl. c = 0 esetén $\large \dpi{80} \fn_jvn y=\frac{1}{x}$ )

1/2. a fv. gradiens vektora

1. Példa

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x;y)=ln(x;y)\;\;\;\;\;x_0=1;\; y_0=2$

1/2. a fv. gradiens vektora

Megoldás:

A gradiens a többváltozós függvény deriváltja.

Jele: grad f (vektor)

A függvény deriválása:

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'={\left [ f(x;y) \right ]}'_x;\;{f_y}'={\left [ f(x;y) \right ]}'_y$


$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'(x;y)={f_x}'$	: x változó szerint derviálunk
	y = állandó (konstans) értéke mellett.

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_y}'(x;y)={f_y}'$	: y változó szerint deriválunk
	x = állandó (konstans) értéke mellett.

Jelölések:

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'={z_x}'=\frac{\partial f}{\partial x}\;\;; \;\;{f_y}'={z_y}'=\frac{\partial f}{\partial x}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x;y)=ln(x\cdot y )\to$	$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'=\frac{1}{x\cdot y}\cdot y=\frac{1}{x}$

	$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_y}'=\frac{1}{x\cdot y}\cdot x=\frac{1}{y}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'=\frac{1}{x}\;\;;\;\;{f_y}'=\frac{1}{y}$

Derivált adott pontbeli értékét megkapjuk, ha a derivált függvénybe behelyettesítjük a pont megfelelő koordinátáit. Így a derivált egy konkrét szám.

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'| {__{P_0(x_0;y_0)}}={f_x}'\left[(x=x_0);(y=y_0)]$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_y}'| {__{P_0(x_0;y_0)}}={f_y}'\left[(x=x_0);(y=y_0)]$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}' \left[(x_0=1);(y_0=2)\right]=\frac{1}{1}=1$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_y}' \left[(x_0=1);(y_0=2)\right]=\frac{1}{2}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'=1\;\;\;\;\;\;\;\;{f_y}'=\frac{1}{2}$

A gradiens vektor a vektorkoordinátákkal adott.

$\large \dpi{80} \fn_jvn \underline{grad}\, f=\begin{bmatrix} {f_x}'\\ {f_y}' \end{bmatrix}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn \underline{grad}\, f| {__{P(x_0;y_0)}}=\begin{bmatrix} {f_x}'(x_0;y_0)\\ {f_y}'(x_0;y_0) \end{bmatrix}$

A függvény gradiens vektora P₀[(x₀= 1);(y₀= 2)] helyen:

$\large \dpi{80} \fn_jvn \underline{grad}\, f(1;2)=\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

1/3. v (2; 3) irányú derivált

1. Példa

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x;y)=ln(x;y)\;\;\;\;\;x_0=1;\; y_0=2$

1/3. v (2; 3) irányú derivált

Megoldás:

Iránymenti derivált: a függvény gradiens vektorának és az irány egységvektorának skaláris szorzata.

Jelölése:

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_\varphi}^{'}=\underline{grad}\;f\cdot \underline{v^0}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn \underline{grad}\;f$ : a függvény gradiens vektora, a vektorkoordinátákkal adjuk meg → $\large \dpi{80} \fn_jvn \begin{bmatrix} {f_x}'\\ {f_y}' \end{bmatrix}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn \underline{v^0}$ : irányvektor egységvektora, a vektorkoordinátákkal adjuk meg → $\large \dpi{80} \fn_jvn \begin{bmatrix} {cos\varphi}\\ {sin\varphi} \end{bmatrix}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn |\underline{v}|= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt {13}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn |\underline{v}|=\sqrt {13}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_\varphi}^{'}=\underline{grad}\;f\cdot \underline{v^0}=\begin{bmatrix} {f_x}'\\ {f_y}' \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {v_x^0}\\ {v_y^0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {f_x}'\\ {f_y}' \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {cos\varphi}\\ {sin\varphi} \end{bmatrix}=$

$\large \dpi{80} \fn_jvn =\begin{bmatrix} {1}\\ {\frac{1}{2}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\frac{2}{\sqrt{13}}}\\ {\frac{3}{\sqrt{13}}} \end{bmatrix}=1\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}\approx 0,971$

A függvény v (2; 3) irányú iránymenti deriváltja: $\large \dpi{80} \fn_jvn {f_\varphi}^{'}=0,971$

1/4. a fv. érintősíkja

1. Példa

$\large \dpi{80} \fn_jvn f(x;y)=ln(x;y)\;\;\;\;\;x_0=1;\; y_0=2$

1/4. a fv. érintősíkja

Megoldás:

Érintősík a kétváltozós függvényt, mint felületet egy pontban érinti.

Sík egyenlete: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

A; B; C: a sík normálvektorának koordinátái

P(x₀;y₀;z₀): adott pont.

Érintősík esetén: A = f_x'; B = f_y'; C = -1

$\large \dpi{80} \fn_jvn z=f(x;y)\to z_0=f\left [ (x=x_0);(y=y_0) \right ]$

Az érintési pont koordinátái:

$\large \dpi{80} \fn_jvn \text{P}_0(x_0;y_0;f(x_0;y_0))$

Az érintősík egyenlete kétváltozós függvény esetén adott P₀(x₀;y₀) pontban:

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}'(x_0;y_0)\cdot (x-x_0)+{f_y}'(x_0;y_0)\cdot (y-y_0)= z-z_0$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_\dot{x}}'(x-x_0)+{f_\dot{y}}'(y-y_0)- z+z_0=0$

$\large \dpi{80} \fn_jvn {f_x}^{'}=1; \;{f_y}^{'}=\frac{1}{2};\;z_0=ln(1\cdot 2)=ln2$

$\large \dpi{80} \fn_jvn 1\cdot(x-1)+\frac{1}{2}\cdot(y-2)-z+ln2=0$

$\large \dpi{80} \fn_jvn x-1+\frac{1}{2}y-1+ln2-z=0$

$\large \dpi{80} \fn_jvn x+\frac{1}{2}y-2+ln2=z$

Az érintősík egyenlete P₀(1;2) pontban:

$\large \dpi{80} \fn_jvn z=x+\frac{1}{2}y-2+ln2$