Analízis
	2.2. Deriválás

» Példák

2.2. Példa

Határozza meg a törtfüggvény deriváltját!

$\large \dpi{80} \fn_jvn \left(\frac{\sqrt{x}}{7}-\frac{3}{(3x+5)^{3}}\right)^{'}$

2.2. Példa

Határozza meg a törtfüggvény deriváltját!

$\large \dpi{80} \fn_jvn \left(\frac{\sqrt{x}}{7}-\frac{3}{(3x+5)^{3}}\right)^{'}$

Megoldás:

Átalakítás:

$\large \dpi{80} \fn_jvn \\*\left(\frac{\sqrt{x}}{7}-\frac{3}{(3x+5)^{3}}\right)^{'}=\left(\frac{1}{7}\cdot\sqrt{x}-3\cdot\frac{1}{(3x+5)^{3}}\right)^{'}=\\\\ \left(\frac{1}{7}\cdot x^{\frac{1}{2}}-3(3x+5)^{-3}\right)^{'}=\\\\ =\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}-3\cdot(-3)(3x+5)^{-3-1}\cdot(3x+5)^{'}=\\\\ =\frac{1}{14}\cdot x^{-\frac{1}{2}}+9\cdot(3x+5)^{-4}\cdot(3+0)=\\\\ =\frac{1}{14}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}+27\frac{1}{(3x+5)^{4}}=\\\\ =\frac{1}{14\sqrt{x}}+\frac{27}{(3x+5)^{4}}$

» Elmélet

Alap

Közép

Haladó

Először "leválasztjuk" a konstanst.

$\large \dpi{80} \fn_jvn (c\cdot f)^{'}=c\cdot f^{'}$

Függvények összegét, különbségét külön-külön deriváljuk.

$\large \dpi{80} \fn_jvn (f\pm g)^{'} = f^{'} \pm g^'$

Átalakítunk alapfüggvényre és a "képletgyűjtemény" szerint deriválunk.

$\large \dpi{80} \fn_jvn (x^{\alpha})^{'}=\alpha x^{\alpha-1}$

Ha nem "x" szerepel, hanem egy másik függvény, ennek a deriváltjával szorzunk.

$\large \dpi{80} \fn_jvn \left(f[g(x)]\right)^{'}=f^{'}(g)\cdot g^{'}$

Gyök helyett törtkitevőt, nevező helyett negatív kitevőt írunk.

$\large \dpi{80} \fn_jvn \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\,;\,\frac{1}{x^{3}}=x^{-3}$

$\large \dpi{80} \fn_jvn c^{'}=0$	$\large \dpi{80} \fn_jvn (\sqrt{x})^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\large \dpi{80} \fn_jvn x^{'}=1$	$\large \dpi{80} \fn_jvn \left(\frac{1}{x}\right)^{'}=-\frac{1}{x^{2}}$
$\large \dpi{80} \fn_jvn (x^{2})^{'}=2x$